水素原子の軌道のイメージがつかない…。そう感じた人は、数式と軌道のつながりを考えてみよう！

 

水素原子の波動関数は、ルジャンドル陪関数と球面調和関数の積で表されます。

(1)  

（この式の導出は結構難しいため，ここでは示しません。興味のある人は、厚めの量子力学の本を探してみよう。）

授業ではここから、 軌道， 軌道の話に移っていきます。式(1)と軌道は密接なつながりがあるのですが、授業ではあまり取り扱わないと思うので、ここで詳しく見ていこう。

 

今回は、 軌道の外形と式(1)との関係を見ていきます。
外形を知るのに重要なのは、式(1)の中でもです。は，,の値によって、

(2)  

となります。
今回使うのはこの3つ。3つともが入ってないから、のグラフを考えて、z軸でぐるっと回せばの形が分かります。

 

まず、一番簡単なを考えよう。いつでも、だから、グラフは図のような半径の半円になります。これをz軸で回転させると、球形の軌道が得られます。これが 軌道です。

 

次に，を考えてみよう。

(3)  

となるから、図のようなグラフが得られます。原点からの距離がとなるようにグラフを描いています。でになることと、で符号が逆になることに注意。これをz軸で回すと、軌道が得られます。
軌道を書くとき+、-を付けたり、色を変えたりするけど、それは回す前の符号が逆だからです。

 

最後に、を考えてみよう。

(4)  

となるので、グラフは図のようになります。これを回転させると、軌道になります。