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学びのヒント by SLA

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2019/09/20　学習ポイント

ガウス積分

物理や化学の計算をやっていると、時たま次のような積分たちにお目にかかります。

(1)   \begin{equation*} \int _{-\infty} ^\infty e^{-ax^2} dx \hspace{15pt} , \hspace{15pt} \int _{-\infty} ^\infty x^2 e^{-ax^2} dx \notag \end{equation*}

これらの積分は、ガウス積分と呼ばれるものです。この積分計算を実行するには、ちょっとした工夫が必要です。ここではこの計算方法について説明します。

 

まず、次の積分からやってみましょう。

(2)   \begin{equation*} \int _{-\infty} ^\infty e^{-ax^2} dx \end{equation*}

この積分はその２乗を計算することで求めることが出来ます。すなわち

(3)   \begin{equation*} I = \int _{-\infty} ^\infty e^{-ax^2} dx \end{equation*}

とおき

(4)   \begin{align*} I^2 &= \left( \int _{-\infty} ^\infty e^{-ax^2} dx \right) ^2\\ &= \left( \int _{-\infty} ^\infty e^{-ax^2} dx \right) \cdot \left( \int _{-\infty} ^\infty e^{-ay^2} dy \right) \end{align*}

ここで、定積分の時の積分変数は自由に取れるので、２乗のうちの一つの積分の積分変数を x から y に変えました。

(5)   \begin{align*} \left( \int _{-\infty} ^\infty e^{-ax^2} dx \right) \cdot \left( \int _{-\infty} ^\infty e^{-ay^2} dy \right) &= \int _{-\infty} ^\infty \int _{-\infty} ^\infty e^{- a \left( x^2 + y^2\right)} dx dy\\ &= \int _0 ^{2 \pi} \int _ 0 ^\infty r e^{-ar^2} dr d\theta \end{align*}

ここで２重積分を xy 直交座標系から r\theta 極座標に変数変換しました。この極座標での積分は簡単にできて

(6)   \begin{align*} \int _0 ^{2 \pi} \int _ 0 ^\infty r e^{-ar^2} dr d\theta &= \int _0 ^{2\pi} d\theta \cdot \int _0 ^\infty r e^{-ar^2} dr\\ &= 2\pi \cdot \left( -\frac{1}{2a} \right) \left[ e^{-ar^2} \right]_0 ^\infty\\ &= \frac{\pi}{a} \end{align*}

これからすなわち

(7)   \begin{equation*} I = \int _{-\infty} ^\infty e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{equation*}

であることが分かります。

 

さて、それではもう一つの積分はどうでしょうか。
こちらは実は今求めた式(7)を利用すれば簡単に求めることができます。というのは、式(7)を今まで定数と思っていた文字 a について微分してみればいいのです。

(8)   \begin{align*} - \frac{d}{da} \int _{-\infty} ^\infty e^{-ax^2} dx &= \int _{-\infty} ^\infty x^2 e^{-ax^2} dx\\ &= -\frac{d}{da} \sqrt{\frac{\pi}{a}}\\ &= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} \end{align*}

つまり

(9)   \begin{equation*} \int _{-\infty} ^\infty x^2 e^{-ax^2} dx &= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} \end{equation*}

であることが分かります。お気づきのように、この a で微分するという方法を繰り返し用いることによって、\int _{-\infty} ^\infty x^{2n} e^{-ax^2} dx の積分はすべて求めることができます。これは皆さんでやってみてください。
一応結果だけ書いておくと

(10)   \begin{align*} \int _{-\infty} ^\infty x^{2n} e^{-ax^2} dx &= \prod _{i=1} ^n \left( i-\frac{1}{2} \right) \sqrt \pi \; a^{-(n+\frac{1}{2})}\\ &= \Gamma \left( n+\frac{1}{2} \right) \sqrt \pi \; a^{-(n+\frac{1}{2})} \end{align*}

となると思います（最終行ではガンマ関数 \Gamma を使っています）。

作成者：SLA