rank（階数）のお話 Part 2

東北大生のための「学びのヒント」をSLAがお届けします。
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2019/09/05　学習ポイント

はじめに

ここでは「rank（階数）のお話 Part 1」で述べた階数の定義その一, 二, 三の同値性を調べていくことにします. 四, 五についてはPart3で述べる予定です.

定理とその証明

定理１. 階数の定義その一と二は同値である.

証明. $m$ 行 $n$ 列の行列 $A$ と $\boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in V^n$ について $f_A(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{a}_1+\dots +x_n\boldsymbol{a}_n.$ よって $f_A(V^n)$ は $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n$ によって生成されている. このことから $\mathrm{rank} A$ は $\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n$ のうち一次独立なベクトルの組の最大の個数であることがわかる. （証明終わり）

定理２. 次の主張は同値. すなわち, 階数の定義その二と三は同値である:

$A$ の列ベクトルの中に $r$ 個の一次独立なベクトルが存在して $r+1$ 個以上の一次独立なベクトルが存在しない.
$A$ の $r$ 次小行列式の中に $0$ でないなものがあって $r+1$ 以上の小行列式は全て $0$ ということがなりたつ.

証明. 以下の補題３からわかる. （証明終わり）

補題３. $m$ 行 $n$ 列の行列 $A=(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_{n})$ に対して次は同値:

$r$ 個の $m$ 次の縦ベクトル $\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r}$ が一次独立.
行列 $M:=(\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r})$ を $M=\begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{1} \\ \boldsymbol{b}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{m} \end{pmatrix}$ と行ベクトル表示したとき, $r$ 個の番号 $i_1,i_2,\dots,i_{r}$ をとれば $\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{i_1} \\ \boldsymbol{b}_{i_2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{i_r} \end{pmatrix} \neq 0$ とできる. これは行列 $A$ の $r$ 次小行列式になっていることに注意.

証明. $\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r}$ が一次独立とする. $\boldsymbol{e}_{k}$ を $k$ 番目の基本ベクトルとする.すなわち,

$\boldsymbol{e}_{k}:= \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \leftarrow k 行目$

という縦ベクトルとする. 適当に番号 $k_{1},\cdots,k_{s}\ (s=n-r)$ をとって $\boldsymbol{e}_{k_1},\cdots,\boldsymbol{e}_{k_s},\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_{r}}$ が一次独立にすることができる. $B=(\boldsymbol{e}_{k_1},\cdots,\boldsymbol{e}_{k_s},\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_{r}})$ と置くと $\det B\neq 0$ . 行列 $B$ を $B= \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{m} \end{pmatrix}$ と行ベクトル表示し, $\{i_1,\cdots, i_r\}=\{1,2,\cdots,m\}\setminus\{j_1,\cdots,j_s\}$ とすれば

$0\neq \det B=\pm\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{i_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{i_r} \end{pmatrix}$

がわかる. 逆に $r$ 個の $m$ 次ベクトル $\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r}$ において $M:=(\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r})$ を $M=\begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{1} \\ \boldsymbol{b}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{m} \end{pmatrix}$ と行ベクトル表示したとき, $r$ 個の番号 $i_1,i_2,\dots,i_{r}$ をとることで $\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{i_1} \\ \boldsymbol{b}_{i_2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{i_r} \end{pmatrix} \neq 0$ とできたとする. このとき $\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r}$ が一次独立になることを示す. スカラー $x_1,\cdots,x_{r}$ が

$x_{1}\boldsymbol{a}_{j_1}+\dots+x_{r}\boldsymbol{a}_{j_r}=0$

を満たすとする. $\boldsymbol{x}:= \begin{pmatrix} x_{1}\\ \vdots\\x_{r} \end{pmatrix}$ と置くと, 上の条件は $M\boldsymbol{x}=0$ と同値.　よって $\begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{m} \end{pmatrix} \boldsymbol{x}=0.$ 　よって $\begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{i_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{i_r} \end{pmatrix} \boldsymbol{x}=0$ . $\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{i_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{i_r} \end{pmatrix} \neq 0$ だから $\boldsymbol{x}=0$ . 従って, $\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r}$ は一次独立. （証明終わり）