学びのヒント by SLA

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2019/09/05 学習ポイント

rank(階数)のお話 Part 2

はじめに

ここでは「rank(階数)のお話 Part 1」で述べた階数の定義その一, 二, 三の同値性を調べていくことにします. 四, 五についてはPart3で述べる予定です.

 

定理とその証明

定理1. 階数の定義その一と二は同値である.

証明mn 列 の行列 A\boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in V^n について f_A(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{a}_1+\dots +x_n\boldsymbol{a}_n. よって f_A(V^n)\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n によって生成されている. このことから \mathrm{rank} A\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n のうち一次独立なベクトルの組の最大の個数であることがわかる. (証明終わり)

定理2. 次の主張は同値. すなわち, 階数の定義その二と三は同値である:

  • A の列ベクトルの中に r 個の一次独立なベクトルが存在して r+1 個以上の一次独立なベクトルが存在しない.
  • Ar 次小行列式の中に 0 でないなものがあって r+1 以上の小行列式は全て 0 ということがなりたつ.

証明. 以下の補題3からわかる. (証明終わり)

補題3. mn 列 の行列 A=(\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_{n}) に対して次は同値:

  • r 個の m 次の縦ベクトル \boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r} が一次独立.
  • 行列M:=(\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r})M=\begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{1} \\ \boldsymbol{b}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{m} \end{pmatrix} と行ベクトル表示したとき, r 個の番号 i_1,i_2,\dots,i_{r} をとれば \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{i_1} \\ \boldsymbol{b}_{i_2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{i_r} \end{pmatrix} \neq 0 とできる. これは行列 Ar 次小行列式になっていることに注意. 

証明\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r} が一次独立とする. \boldsymbol{e}_{k}k 番目の基本ベクトルとする.すなわち,

    \[ \boldsymbol{e}_{k}:= \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \leftarrow k 行目\]

という縦ベクトルとする. 適当に番号 k_{1},\cdots,k_{s}\ (s=n-r) をとって\boldsymbol{e}_{k_1},\cdots,\boldsymbol{e}_{k_s},\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_{r}} が一次独立にすることができる. B=(\boldsymbol{e}_{k_1},\cdots,\boldsymbol{e}_{k_s},\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_{r}}) と置くと \det B\neq 0. 行列 BB= \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{m} \end{pmatrix}と行ベクトル表示し,\{i_1,\cdots, i_r\}=\{1,2,\cdots,m\}\setminus\{j_1,\cdots,j_s\} とすれば

    \[ 0\neq \det B=\pm\det \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{i_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{i_r} \end{pmatrix} \]

がわかる. 逆に r 個の m 次ベクトル \boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r} において M:=(\boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r})M=\begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{1} \\ \boldsymbol{b}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{m} \end{pmatrix} と行ベクトル表示したとき, r 個の番号 i_1,i_2,\dots,i_{r} をとることで \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{i_1} \\ \boldsymbol{b}_{i_2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{i_r} \end{pmatrix} \neq 0 とできたとする. このとき \boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r} が一次独立になることを示す. スカラー x_1,\cdots,x_{r}

    \[ x_{1}\boldsymbol{a}_{j_1}+\dots+x_{r}\boldsymbol{a}_{j_r}=0 \]

を満たすとする. \boldsymbol{x}:= \begin{pmatrix} x_{1}\\ \vdots\\x_{r} \end{pmatrix} と置くと, 上の条件は M\boldsymbol{x}=0 と同値. よって \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{m} \end{pmatrix} \boldsymbol{x}=0. よって\begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{i_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{i_r} \end{pmatrix} \boldsymbol{x}=0. \det \begin{pmatrix} \boldsymbol{b}_{i_1} \\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_{i_r} \end{pmatrix} \neq 0 だから \boldsymbol{x}=0. 従って, \boldsymbol{a}_{j_1},\cdots,\boldsymbol{a}_{j_r} は一次独立. (証明終わり)

行列 A の転置行列を ^tA とおくと \det A=\det ^tA が成り立つことに注意すると次の事実が従う.

命題4. \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(^t A). 

証明. 階数の定義その三から行列 A の階数はいくつかのサイズの小行列式を計算することで得られる. 行列と転置行列の行列式は等しいので示したいことが得られる. (証明終わり)

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作成者:SLA